Concours d'accès en 1^ère année des ENSA Maroc 2025

Le nombre complexe: \( Z = (-1+i\sqrt{3})^{2010} + (-1-i\sqrt{3})^{2010} \). La valeur de Z est :

Dans \(\mathbb{C}\), on considère l'équation \( z^{6} = (1-i)\overline{z} \). On note z une solution non nulle quelconque de cette équation. Alors :

Dans \(\mathbb{C}\), on considère l'équation \( z^{2} + z + 1 = \frac{1}{z+1} \). On note \( z_{1} \) et \( z_{2} \) les solutions non réelles de cette équation. On a :

On note S l'ensemble des points du plan complexe M dont l'affixe z vérifie \( |z-3| = \frac{\sqrt{2}}{2}|z-5| \). Alors :

Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C et D d'affixe respective 1, -1, i et -i. On note \(\mathbb{U}\) l'ensemble des nombres complexes de module 1. Si \(M \in \mathbb{U}\), on note \( p(M) \) le produit des distances de M aux points A, B, C, D : \( p(M) = MA \times MB \times MC \times MD \).
On pose \( m = \sup_{M \in \mathbb{U}} p(M) \). Alors la valeur de m est :

Soit a l'entier naturel définit par : \( (2025)^{2025} \equiv a \pmod 7 \). La valeur de a est :

Le PGCD de 31235 et 125 est :

On considère la suite \( (u_n) \) définie par : \( u_n = \frac{\ln(1+\sqrt{n})}{\ln(1+n^3)} \). On note \( L = \lim_{n \to +\infty} u_n \).

Soit \( (u_n) \) la suite numérique définie par l'équation \( u_0=1 \) et \( u_{n+1} = \frac{u_n}{1+2u_n} \) \( \forall n \ge 0 \). En considérant la suite \( v_n = \frac{1}{u_n} \), on trouve :

Pour \( n \in \mathbb{N}^* \), on définit \( u_n = \sqrt{n+\sqrt{n-1+\sqrt{\dots+\sqrt{1}}}} \). La limite L de la suite \( (u_n) \) est :

On pose pour \( n \in \mathbb{N}^* \) : \( S_n = \sum_{k=1}^{2n+1} \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \). La limite de \( S_n \) est :

En admettant que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), le nombre réel \( (3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})^n \) est un entier pair, la limite \( L = \lim_{n \to +\infty} \cos\left( (3+\sqrt{5})^n \pi \right) \) vaut :

Soit \( a > 0 \), alors \( \lim_{x \to a^+} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}-\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}} \) est :

On note \( I_n \) la suite définie par : \( I_n = \int_0^1 \frac{x}{1+x^{2n}} \, dx \). La limite L de \( I_n \) est :

La valeur de l'intégrale \( I = \int_0^{\sqrt{3}} x^2 \ln(x^2+1) \, dx \) est :

Soit f la fonction définie sur \( ]0, +\infty[ \) par \( f(x) = \frac{2\ln(x)}{x(1+(\ln(x))^2)} \). La primitive de f sur \( ]0, +\infty[ \) qui s'annule en 1 est :

Dans l'espace \( \mathbb{R}^3 \) rapporté à un repère orthonormé direct \( (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) \), on considère le plan (P) d'équation \( 2x-5y-6z+4=0 \) et (S) la sphère de centre \( \Omega(2;-2;3) \) et de rayon 3. Alors :

On jette deux fois de suite une pièce de monnaie non truquée et on note les arrivées de pile et de face. Soit p la probabilité d'avoir deux fois face sachant que le premier jet a donné face.

Une usine fabrique des composants électroniques et dispose d'une machine pour tester s'ils sont défectueux ou non. Les résultats sont comme suit: Si le composant est défectueux, la machine le détecte dans 90% des cas et dans 10% des cas elle échoue. Si le composant n'est pas défectueux, la machine l'indique correctement dans 99% des cas et elle échoue dans 1% des cas. On tire au hasard un composant dans une large population où l'on sait que 0.1% des composants sont défectueux, et on note p la probabilité qu'un composant tiré au hasard soit détecté défectueux par la machine. Alors \( p = \)

On jette n fois de suite un dé non truqué numéroté de 1 à 6, \( n \ge 2 \), et on note les numéros des faces obtenues. Soit \( p_n \) la probabilité d'avoir un nombre inférieur ou égal à 3 dans le second jet sachant que le premier jet a donné la face numéro 2. Soit \( p = \lim_{n \to +\infty} p_n \). La valeur de p est :